交流の電力 - Mae向きなブログ

「交流の電力は?」と問われれば、迷わず、

$P=VI\cos\phi$

と答えてきましたが、理屈が分かった上で覚えた方がいいので、一度は自分で導出しておきたいですね。ということで、

電圧、電流の瞬時値を

$\begin{aligned} v &= \sqrt{2}V\sin\omega t\\ i &=\sqrt{2}I\sin(\omega t-\phi)\\ \end{aligned}$

とすると、瞬時電力 $p$ は、以下のように求められます。

$\begin{alignat}{2} p &= vi \\ &= (\sqrt{2}V\sin\omega t)\{\sqrt{2}I\sin(\omega t-\phi)\}\\ &= 2VI\sin\omega t \cdot \sin(\omega t-\phi) & 積和の公式より\\ &= 2VI\cdot\frac{1}{2}\{\cos(\omega t-(\omega t - \phi))-\cos(\omega t + (\omega t - \phi))\} \\ &= VI\{\cos\phi - \cos(2\omega t- \phi)\} \end{alignat}$

第2項は平均すると0となり、第1項は定数なので平均してもそのまま残ることになります。

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よって、交流の電力は以下の式で表されるんですね。

$P=VI\cos\phi$

積和の公式

加法定理より

$\begin{aligned} \cos(\alpha-\beta) &= \cos\alpha\cdot\cos\beta+\sin\alpha\cdot\sin\beta\\ \cos(\alpha+\beta) &= \cos\alpha\cdot\cos\beta-\sin\alpha\cdot\sin\beta\\ \end{aligned}$

上の式から下の式を引き、整理すると

$\begin{aligned} \cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta) &= 2\sin\alpha\cdot\sin\beta\\ \sin\alpha\cdot\sin\beta &= \frac{1}{2}\{\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta)\} \end{aligned}$