今日から使える微分方程式普及版例題で身につく理系の必須テクニック

副題に「例題で身につく」とあるように、興味をかきたてられるような例題を通して楽しく学習ができる本ですね。

例題のひとつに、「銅線内の電子分布」を求める問題があります。最近、シュレディンガーの波動方程式について学んでみたいと思っていたところでしたので簡単な例題を通して学びを進めることができてよかったです。

説明の中で、 $\alpha$ については自分で求めてくださいとありましたので、下記のように求めてみました。

$\displaystyle \begin{aligned} 1 &= \alpha^{2}\int_{0}^{L}\sin^{2} kx \,dx \\ &= \frac{\alpha^{2}}{2}\int_{0}^{L}(1-\cos 2kx)\,dx \\ &= \frac{\alpha^{2}}{2}[x-\frac{1}{2k}\sin 2kx]_{0}^{L} \\ &= \frac{\alpha^{2}L}{2}\\ \end{aligned}$

より、

$\begin{aligned} \alpha &= \sqrt{\frac{2}{L}} \end{aligned}$

よって、波動関数は、

$\begin{aligned} f(x) &= \sqrt{\frac{2}{L}}\sin \frac{n\pi}{L}x \end{aligned}$

となる。

また、ロケットに関する例題もあるのですが、最近、はやぶさ2のカプセルが地球に帰ってきたばかりということもあって、とてもタイムリーな例題ですね。以下は、ツィオルコフスキーの公式とよばれる宇宙工学では重要な式だそうですが、ロケットのうち燃料以外に使える質量は、全体の7%程度にすぎないとのこと、このような事実が数式を通じて得られるということを考えると、ほんと数学の大切さを感じさせられますね。

$\begin{aligned} v &= V\ln\left(\frac{M}{m_{0}}\right) \end{aligned}$