3段CRはしご形位相形発振回路の発振周波数について

3段CRはしご形位相形発振回路の発振周波数は以下の式で与えられます：

$f=\frac{1}{2\pi\sqrt{6}CR}$

この式がどのように導出されるのか、大学時代の課題以来、改めて計算してみました。

回路図

1. キルヒホッフの法則

$Z = \frac{1}{j\omega C}$ とおくと、各ノードでキルヒホッフの電圧則より：

$\left\{ \begin{array}{rcrcrcl} (R+Z)\dot{I}_1 &-& R\dot{I}_2 & & &=& \dot{V}_{in} \\ -R\dot{I}_1 &+& (2R + Z)\dot{I}_2 &-& R\dot{I}_3 &=& 0 \\ & & -R\dot{I}_2 &+& (2R + Z)\dot{I}_3 &=& 0 \end{array} \right.$

2. クラメルの公式

クラメルの公式を使って、 $\dot{I}_3$ を求めます。

$\begin{pmatrix} R+Z & -R & 0 \\ -R & 2R+Z & -R \\ 0 & -R & 2R+Z \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \dot{I}_1 \\ \dot{I}_2 \\ \dot{I}_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \dot{V}_{in} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

より、

$A = \begin{pmatrix} R+Z & -R & 0 \\ -R & 2R+Z & -R \\ 0 & -R & 2R+Z \end{pmatrix},\quad A_3 = \begin{pmatrix} R+Z & -R & \dot{V}_{in} \\ -R & 2R+Z & 0 \\ 0 & -R & 0 \end{pmatrix}$

とすると、

$\begin{array}{rcl} \det A &=& (R+Z)(2R+Z)^2 - R^2(2R+Z)-R^2(R+Z) \\ &=& Z^3 + 5RZ^2+6R^2Z + R^3\\ \det A_3 &=& R^2\dot{V}_{in} \end{array}$

以上より、

$\dot{I}_3 = \frac{R^2\dot{V}_{in}}{Z^3 + 5RZ^2+6R^2Z + R^3}$

となる。

3. 伝達関数の導出

$\begin{array}{rcl} \dfrac{\dot{V}_{out}}{\dot{V}_{in}} &=& \dfrac{R^3}{Z^3 + 5RZ^2+6R^2Z + R^3} \\ &=& \dfrac{1}{1-\dfrac{5}{(\omega CR)^2}+j\left(\dfrac{1}{(\omega CR)^3} - \dfrac{6}{\omega CR}\right)} \end{array}$