数学ガールの秘密ノート/微分を追いかけて

今回は微分がテーマでした。位置、速度、加速度、パスカルの三角形、二項定理、複利計算などを通して、楽しく微分について学習(復習)できました。まだ微分を習っていない中高生や微分に苦手意識を持っている方、微分を学び直したい方などにお薦めだと思います。

p228に[研究問題 5-X2(自然対数eの近似値)]という問題があります。第5章では多くのnの値について、

$(1+\frac{1}{n}) ^n$

の値を計算しているのですが、同じnの値について、

$\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\cdots+\frac{1}{n!}$

の値を計算してみましょうという問題です。

どんな結果になるのか興味がありましたので、解いてみました。

Q5-X2.rb

実行結果

以下が実行結果ですが、左側からn、 $(1+\frac{1}{n}) ^n$ , $\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\cdots+\frac{1}{n!}$ , 両者の差と表示しています。階乗の値はnが大きくなると、かなり大きくなるので、nが100以上になると計算結果に変化は現れないんですね。実行結果の最後の行には、あらかじめRubyで用意されている自然対数eの値を表示しています。

$ ruby Q5-X2.rb
      1 | 2.0000000000000000 | 2.0000000000000000 | 0.0000000000000000
      2 | 2.2500000000000000 | 2.5000000000000000 | -0.2500000000000000
      3 | 2.3703703703703698 | 2.6666666666666665 | -0.2962962962962967
      4 | 2.4414062500000000 | 2.7083333333333330 | -0.2669270833333330
      5 | 2.4883199999999994 | 2.7166666666666663 | -0.2283466666666669
      6 | 2.5216263717421135 | 2.7180555555555554 | -0.1964291838134420
      7 | 2.5464996970407121 | 2.7182539682539684 | -0.1717542712132563
      8 | 2.5657845139503479 | 2.7182787698412700 | -0.1524942558909221
      9 | 2.5811747917131984 | 2.7182815255731922 | -0.1371067338599938
     10 | 2.5937424601000023 | 2.7182818011463845 | -0.1245393410463822
    100 | 2.7048138294215285 | 2.7182818284590455 | -0.0134679990375171
   1000 | 2.7169239322355936 | 2.7182818284590455 | -0.0013578962234519
  10000 | 2.7181459268249255 | 2.7182818284590455 | -0.0001359016341200
 100000 | 2.7182682371922975 | 2.7182818284590455 | -0.0000135912667480
1000000 | 2.7182804690957534 | 2.7182818284590455 | -0.0000013593632922
e = 2.718281828459045